Representaciones lineales irreducibles de grupos finitos en cuerpos de números

Linear irreducible representations of finite groups over number fields

Abstract

In this brief note, we present a method to construct explicitly all irreducible representations of finite groups over a number field, up to equivalence. As a byproduct, we describe how to find the irreducible representations of the generalized quaternion group \(Q(2^{n})\), of order \(2^{n}\), over a field \(L\), where \(\mathbb{Q}\leq L\leq \mathbb{Q}(\xi_{2^{n-1}})\) and \(\xi_{2^{n-1}}\) a primitive \(2^{n-1}\)-root of unity.

Resumen

En esta breve nota, presentamos un método para construir explícitamente todas las representaciones irreducibles de grupos finitos sobre un cuerpo de números, salvo equivalencia. Como subproducto, describimos cómo encontrar las representaciones irreducibles del grupo de cuaterniones generalizado \(Q(2^{n})\), de orden \(2^{n}\), sobre un cuerpo \(L\), con \(\mathbb{Q}\leq L\leq \mathbb{Q}(\xi_{2^{n-1}})\) y \(\xi_{2^{n-1}}\) una raíz \(2^{n-1}\)-ésima primitiva de la unidad.